题单：

 

 

也称：树上启发式合并

可以解决绝大部分不带修改的离线询问的子树查询问题

 

流程：

1.重链剖分找重儿子

2.sol:全局用桶或者数据结构存信息。

　　①递归所有的轻儿子，回溯前删除贡献

　　②递归重儿子，不删除贡献

　　③暴力找所有轻儿子，加入贡献

　　④更新x的答案

　　⑤如果x是父亲的轻儿子，再把整个子树贡献删除（信息只有子树的，有时可以不用再dfs去重，可以直接清空）

正确性：

一个点的轻儿子会暴力更新到所有信息，重儿子链不会删除贡献，所以重儿子子树经过④之后轻儿子的贡献会保留下来，重儿子子树都有。

数据结构只会保留x子树的。

复杂度：

主要是④的暴力和⑤的删除。一个点到根的路径一共只有logn条轻边

每个轻边会额外删除一次、插入一次。总共是：O(nlogn)的

 

利用重链剖分的性质，保留重儿子的信息，轻儿子暴力更新

O(n^2)->O(nlogn)

 

好处：

(其实许多dsu的题都可以用主席树，线段树合并处理。)

1.好写

2.空间小。O(n)。全局的桶使得不用再花费logn的空间

3.可以精确打击。枚举轻儿子是把所有点再找一遍直接贡献到x上去。线段树合并和主席树就不太能精确查找。好比莫队。

4.可以处理一些有根树点分治

 

例题：

为了重儿子的信息一直适用，都是记录的绝对大小，也就是深度。

单纯和深度相关，并且边权为1的话，也可以考虑长链剖分

 

（这个题，可以用桶前后差分做到O(n)，长链剖分也可以O(n)的）

二进制数记录某个深度的所有字符出现次数奇偶性

 

倍增找到k级祖先，记录某个深度的点出现次数

 

每个深度用set去重。

有根树点分治：

 

挺不错的算法

有点类似分块莫队三元环计数。用顺序和规模限制了复杂度。且这个还是一个logn